vendredi 14 août 2026

La contagion, ou moins qu'on ne dit

Quand les marchés chutent, les corrélations montent, et on appelle cela contagion. J'ai recalculé la preuve classique sur le S&P 500 et le CAC 40, puis je l'ai obtenue à l'identique dans un monde simulé où, par construction, rien ne se propage.

Mots-clés S&P 500 × CAC 40 Forbes-Rigobon 2002 9023 jours de cotation corrélations conditionnelles sans dépendance

Le constat

La phrase revient à chaque crise : « en période de tension, tout devient corrélé ». Elle a une preuve standard, et cette preuve tient en un graphique. On prend les clôtures quotidiennes du S&P 500 et du CAC 40, soit 9023 jours de cotation communs du 5 mars 1990 au 13 août 2026 ; on en tire des rendements logarithmiques lissés en moyenne mobile sur deux jours, pour amortir le décalage horaire entre New York et Paris. Puis on classe les jours en dix déciles d'amplitude du rendement américain, du plus calme au plus agité, et on mesure la corrélation dans chacun.

La courbe monte, sans hésiter : de 0,09 dans le décile le plus calme à 0,82 dans le plus agité, pour une corrélation pleine période de 0,64. Les jours de tempête, Paris suit New York presque pas à pas. Voilà, dit-on, la contagion, mesurée.

Le retournement

Avant de conclure, une contre-épreuve. Je fabrique un couple gaussien simulé de même taille, dont la corrélation vraie est constante par construction, égale à 0,64, la valeur pleine période du couple réel. Aucun régime, aucune crise, aucune propagation : le monde le plus sage qu'on puisse tirer au sort. La même procédure par décile y produit la même courbe montante, de 0,04 dans le premier décile à 0,86 dans le dernier, et la prédiction analytique, tracée en trait continu, passe par les points de Monte-Carlo. Le graphique qui « prouvait » la contagion ne prouve donc rien à lui seul : il redécouvre une propriété de l'estimateur, pas une propriété des marchés.

Le mécanisme

Le mécanisme tient en une ligne : y = βx + ε, avec ε indépendant de x. Conditionner sur les jours où x est de grande amplitude ne change ni β ni le bruit ; cela ne change que le rapport signal sur bruit. Dans un décile agité, la part de y expliquée par x pèse plus lourd face au même bruit, et la corrélation d'échantillon monte, mécaniquement, sans qu'aucun paramètre structurel n'ait bougé.

En notant δ l'excès relatif de variance de x dans le sous-échantillon, la corrélation conditionnelle vaut ρA = ρ·√(1 + δ) / √(1 + δ·ρ²) : elle monte avec δ, et avec δ seul.

Un piège rencontré en chemin dit bien où loge l'effet. Un des premiers tests multipliait les deux séries par trois, jours de tempête compris, et attendait que la corrélation monte : elle n'a pas bougé d'une décimale, la corrélation de Pearson étant invariante par changement d'échelle. Ce que le conditionnement amplifie n'est donc pas la taille des rendements, c'est la part du choc commun face à un bruit qui, lui, ne grandit pas : gonflez x seul, en laissant ε tel quel, et la brute s'envole quand la corrigée restitue ρ. Toute la question de la contagion se joue dans ce rapport, pas dans l'agitation elle-même.

La correction

La formule s'inverse : si la courbe montante n'est que l'image d'une corrélation constante vue à travers δ, alors on peut la redresser. C'est la correction de Forbes et Rigobon, appliquée ici décile par décile aux données réelles. Du troisième au dixième décile, là où l'estimateur est serré, la montée du constat s'efface : la courbe corrigée n'a plus de pente d'ensemble et reste à moins de 0,15 de la valeur pleine période. Dans les deux premiers déciles, en revanche, l'inversion divise par un nombre proche de zéro et amplifie le bruit au lieu d'effacer le biais : le premier décile corrigé vaut 0,88, avec un intervalle qui court de 0,46 à 0,96, autant dire un point qui ne dit rien. Les intervalles de la figure le disent d'eux-mêmes ; l'aplatissement, lui, n'est constaté qu'à partir du troisième décile.

Le dernier décile mérite qu'on s'y arrête. La correction y fait plus qu'aplatir : la corrigée tombe à 0,49, sous la référence de 0,64, et son intervalle, de 0,46 à 0,53, exclut celle-ci. Deux lectures sont compatibles avec ce point. Soit l'inversion, poussée par le δ de 5,2 de ce décile, corrige au-delà du nécessaire ; soit l'excès brut des jours les plus agités n'était réellement que du biais de volatilité, jusqu'au dernier point. La page rapporte ce qui sort du calcul et ne tranche pas entre les deux.

Ce qui reste

Les déciles mélangent toutes les époques ; pour regarder les crises elles-mêmes, je passe en corrélation glissante sur 60 jours de cotation. La courbe brute grimpe jusqu'à 0,92 au plus fort des crises. La courbe corrigée raconte autre chose : en moyenne d'épisode, elle vaut 0,44 à l'automne 2008 et 0,58 en février-avril 2020, toutes deux sous la ligne pleine période.

Ces moyennes sont descriptives, et il faut dire pourquoi. Deux fenêtres successives partagent 59 de leurs 60 jours : les 84 fenêtres de l'automne 2008 comptent pour une à deux observations indépendantes, pas 84. Le lissage sur deux jours autocorrèle en outre les rendements, 0,45 au premier retard, si bien qu'une fenêtre de 60 jours porte environ 23 observations effectives. Et c'est précisément en crise que δ devient énorme, 8,3 en médiane à l'automne 2008, c'est-à-dire là où l'inversion amplifie le plus le bruit. Février-avril 2020 le montre : l'écart-type des fenêtres corrigées y atteint 0,21, et 18 des 51 fenêtres passent au-dessus de la référence. « Sous la référence » est un énoncé sur une moyenne bruitée, pas sur chaque fenêtre.

L'argument solide est ailleurs, et c'est un argument a fortiori. La référence de variance de la correction est la pleine période, crises comprises, et non une période calme : la correction sous-corrige donc par construction. Si une propagation supplémentaire s'ajoutait au mécanisme, c'est au-dessus de la référence qu'elle aurait toute latitude de subsister ; or, en moyenne d'épisode, rien ne subsiste. Qu'une correction qui sous-corrige atterrisse en dessous n'a d'ailleurs rien de paradoxal : à δ énorme, la moyenne d'une transformation bruitée et à peu près concave tire vers le bas, et les fenêtres mélangent les régimes, celles qui s'achèvent début septembre 2008 couvrant encore un été calme. La lecture prudente tient en une phrase : l'essentiel de la flambée des corrélations en crise est l'effet mécanique de la volatilité, pas la preuve d'une propagation supplémentaire.

Ce que le calcul suppose

• Le choc est supposé venir du S&P 500. Conditionner sur l'amplitude du CAC 40 donnerait d'autres chiffres ; le sens du conditionnement est un choix économique, pas une vérité statistique.
• ε homoscédastique, aucune variable omise. Les deux hypothèses sont fausses en pratique : un facteur commun omis dont la variance monte en crise biaise la correction, dans un sens qui dépend de la part du facteur dans chaque indice.
• La moyenne mobile sur deux jours crée une autocorrélation artificielle. Elle est là pour amortir le décalage horaire, et elle relève le niveau : en jour simple, sans lissage, la corrélation pleine période vaut 0,52 au lieu de 0,64. La correction de Forbes et Rigobon ne dit rien de ce déplacement de niveau ; la mécanique des déciles, elle, est la même avec ou sans lissage.
• Le Monte-Carlo est gaussien. C'est un monde plus sage que les marchés, sans queues épaisses ; et le bootstrap des intervalles est i.i.d., ce qui sous-estime vraisemblablement leur largeur.
• Les salles de marché conditionnent d'ordinaire sur une volatilité glissante, pas sur l'amplitude du jour. La version par amplitude du jour isole le mécanisme ; la dernière figure couvre l'autre lecture.
• Les données sont prises telles quelles. Clôtures Yahoo Finance, dividendes non réinvestis, corrélation de Pearson sur rendements logarithmiques : rien ici n'est du total return, et un autre fournisseur donnerait des chiffres voisins mais pas identiques.

Hors périmètre, enfin : les corrélations conditionnelles dynamiques du type DCC-GARCH, les copules, les corrélations implicites dans les prix d'options. Autant de pistes pour un billet suivant. Le point de départ reste l'article de Forbes et Rigobon, « No Contagion, Only Interdependence » (Journal of Finance, 2002), et tout le calcul de cette page se rejoue depuis tools/contagion, sur GitHub.

Tous les nombres de cette page sortent de la même chaîne de calcul ; les rendements appariés eux-mêmes sont dans contagion.json.

Publié par Vincent Nazzareno le 14 août 2026.

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